1. 存在性

1.1 $M_n$ 与 $Z_n$ 的构造.

于是满足第三点.

1.2 证明 $Z_n$ 符合上述条件.

1.2.1 由于 $\Bqty{X_n, n \ge 0}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 0}$ 是下鞅, 有

由 1.1 中的构造知, $Z_n \ge 0$ 且单调非降, 且 $Z_n$ 是 $Y_1, \cdots, Y_{n - 1}$ 的函数.

1.2.2 又

于是第二点成立.

1.3 证明 $M_n$ 符合上述条件.

1.3.1 条件期望:

1.3.2 绝对期望:

从而 $\Bqty{M_n, n \ge 1}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 1}$ 是鞅.

2. 唯一性

设 $M'_n, Z'_n$ 满足上述要求, 则

令 $\Delta_n = M_n - M'_n = Z'_n - Z_n$, 则 $\Bqty{\Delta_n, n \ge 1}$ 也是关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 1}$ 的鞅. 于是

由上式, $\Delta_n$ 是关于 $Y_1, \cdots, Y_{n}$ 的函数; 进一步, 由于 $Z_n, Z'_n$ 是关于 $Y_1, \cdots, Y_{n - 1}$ 的函数, $\Delta_n$ 也是关于 $Y_1, \cdots, Y_{n - 1}$ 的函数, 从而

从而

因此 $Z_n = Z'_n, M_n = M'_n$. 从而唯一性得证. 证毕.